题目内容
如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(1)求证:B1B∥平面D1AC;
(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.
证明:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=
,
∴四边形B1D1EB是平行四边形,
所以B1B∥D1E.
又因为B1B?平面D1AC,D1E?平面D1AC,
所以B1B∥平面D1AC
(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥DD1.
∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC?平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.
分析:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,根据平面ABCD∥平面A1B1C1D1的性质得B1D1∥BE,而B1D1=BE=
,则四边形B1D1EB是平行四边形,从而B1B∥D1E,又因B1B?平面D1AC,D1E?平面D1AC,根据线面平行的判定定理可知B1B∥平面D1AC;
(2)根据侧棱DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,得AC⊥DD1.而下底ABCD是正方形则AC⊥BD,根据DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,则AC⊥平面B1BDD1,AC?平面D1AC,根据面面垂直的判定定理可知平面D1AC⊥平面B1BDD1.
点评:本题主要考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理,同时考查了空间想象能力以及推理能力,涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强.
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=
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∴四边形B1D1EB是平行四边形,
所以B1B∥D1E.
又因为B1B?平面D1AC,D1E?平面D1AC,
所以B1B∥平面D1AC
(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥DD1.
∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC?平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.
分析:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,根据平面ABCD∥平面A1B1C1D1的性质得B1D1∥BE,而B1D1=BE=
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(2)根据侧棱DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,得AC⊥DD1.而下底ABCD是正方形则AC⊥BD,根据DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,则AC⊥平面B1BDD1,AC?平面D1AC,根据面面垂直的判定定理可知平面D1AC⊥平面B1BDD1.
点评:本题主要考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理,同时考查了空间想象能力以及推理能力,涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强.
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