Question

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（II）求平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明

D1E

=

B1B

，可得B₁B∥D₁E，利用线面平行的判定，可得B₁B∥平面D₁AC；
（II）求得平面B₁AD₁、平面D₁AC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）．…（3分）
设AC∩BD=E，连接D₁E，则有E（1，1，0），

D1E

=

B1B

=（1，1，-2），所以B₁B∥D₁E，
∵B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC
∴B₁B∥平面D₁AC；…（6分）
（II）解：

D1B1

=(1，1，0)，

D1A

=(2，0，-2)
设

n

=(x，y，z)为平面B₁AD₁的法向量，则

n • B1D1 =0 n • D1A =0

，即

x+y=0 2x-2z=0

，
于是可取

n

=(1，-1，1)…（8分）
同理可以求得平面D₁AC的一个法向量

m

=(1，1，1)，…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

∴平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查了线面平行的判定，考查二面角平面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．