Question

【题目】设函数.

（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；

（2）设，若当时，函数的两个极值点满足，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）求函数求导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性，即可求得结果；

（2）根据题意，先求得的范围，再利用进行适度放缩，即可由对勾函数单调性，容易证明.

（1）由已知，可知函数的定义域为，

在上有两个零点，

设，

，

当时，，为增函数，不存在两个零点；

当时，，得，

时，，为增函数，

时，，为减函数.

且此时当趋近于时，趋近于负无穷；当趋近于正无穷时，趋近于负无穷.

故要满足题意，只需：，

，

实数的取值范围是.

（2）证明：，

，

由的两根为，故可得，，，

又，

，

解得，

，

设，

则，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

，

，

，

令，则，

在时单调递减，

，

成立.