Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，
（1）若a=1，b=$\sqrt{3}$，求sinC；
（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B，再由正弦定理求出A，则C可求，答案可求；
（2）由a，b，c成等差数列，可得a，b，c的关系式，再结合余弦定理可得a=c，则可判断△ABC的形状．

解答 解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=$\frac{π}{3}$．
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{1}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，得sinA=$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜B，∴A=$\frac{π}{6}$，则C=$π-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$．
∴sinC=1；
（2）证明：由2b=a+c，得4b²=a²+2ac+c²，
又b²=a²+c²-ac，
得4a²+4c²-4ac=a²+2ac+c²，
得3（a-c）²=0，∴a=c，
∴A=C，又A+C=$\frac{2π}{3}$，∴A=C=B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查解三角形，关键是对A，B，C成等差数列的应用，是中档题．