Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²-4n+4，取n=1得首项，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1得数列通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，整理后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）由S_n=n²-4n+4，得${a}_{1}={S}_{1}={1}^{2}-4×1+4=1$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-（n-1）²+4（n-1）-4=2n-5．
当n=1时上式不成立，
${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{2n-5}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$+R_n，
${R}_{n}=\frac{-1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-5}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{R}_{n}=\frac{-1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-7}{{2}^{n}}+\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$，
两式作差得：$\frac{1}{2}{R}_{n}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）-\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$，
∴${R}_{n}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
则${T}_{n}=1-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．