题目内容
已知椭圆E：
+
=1(a＞b＞0)的左焦点F1(-
，0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：
+
=1，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：
+
=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：
| 9x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：
| 9x2 |
| 2a2 |
| 4y2 |
| b2 |
分析：（Ⅰ）连接DF2，FO，由题设条件能够推导出|FF1|=
|DF1|=a-b，在Rt△FOF1中，b2+（a-b）2=c2=5，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+
=1，设直线l的方程为y=k（x+2），并代入x2+
=1得：（k2+4）x2+4k2x+4k2-4=0，利用根的判别式、中点坐标公式推导出当k=0或k=
或k=-4+2
时，直线MN过椭圆G的顶点．
（Ⅲ）法一：由椭圆W的方程为
+y2=1，设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），直线AC的方程为y+n=
(x+m)，过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-
(x-m)，由此能够证明PA⊥PB．
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
+y2=1，设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），故kPA=
，kAC=
，由此能够证明PA⊥PB．
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+
| y2 |
| 4 |
| y2 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅲ）法一：由椭圆W的方程为
| x2 |
| 2 |
| n |
| 2m |
| m |
| n |
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
| x2 |
| 2 |
| n |
| m |
| n |
| 2m |
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）连接DF2，FO（O为坐标原点，F2为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为F2(
，0)
因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，
所以|DF2|=2|FO|=2b，
所以|DF1|=2a-|DF2|=2a-2b，
故|FF1|=
|DF1|=a-b．…（2分）
在Rt△FOF1中，|FO|2+|FF1|2=|F1O|2
即b2+（a-b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，
所求椭圆E的方程为
+
=1．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+
=1
设直线l的方程为y=k（x+2）并代入x2+
=1
整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k2-4=0
由△＞0得：-
＜k＜
，…（5分）
设H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）
则由中点坐标公式得：
…（6分）
①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）．…（7分）
②当k≠0时，则x0≠0，直线MN的方程为y=
x+1
此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）；
若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则0=
+1，即x0+y0=1，
所以
+
=1，解得：k=
，k=2（舍去），…（8分）
若直线MN过椭圆G的顶点（-1，0），则0=-
+1，即x0-y0=-1，
所以
-
=-1，
解得：k=-4+2
，k=-4-2
（舍去）．…（9分）
综上，当k=0或k=
或k=-4+2
时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
+y2=1，…（11分）
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0）
则直线AC的方程为y+n=
(x+m)，…①
过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-
(x-m)，…②
①×②并整理得：
+y2=
+n2，
又P在椭圆W上，所以
+n2=1，
所以
+y2=1，
即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
+y2=1
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），
∴kPA=
，kAC=
，
所以直线AC：y=
(x-m)
，
化简得(1+
)x2-
x+
-2=0，
所以xA+xB=
，
因为xA=-m，所以xB=
，则yB=
xB-
=
．…（12分）
所以kPB=
=-
，则kPA•kPB=-1，故PA⊥PB．…（14分）
解：（Ⅰ）连接DF2，FO（O为坐标原点，F2为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为F2(
| 5 |
因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，
所以|DF2|=2|FO|=2b，
所以|DF1|=2a-|DF2|=2a-2b，
故|FF1|=
| 1 |
| 2 |
在Rt△FOF1中，|FO|2+|FF1|2=|F1O|2
即b2+（a-b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，
所求椭圆E的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：x2+
| y2 |
| 4 |
设直线l的方程为y=k（x+2）并代入x2+
| y2 |
| 4 |
整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k2-4=0
由△＞0得：-
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
设H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）
则由中点坐标公式得：
|
①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）．…（7分）
②当k≠0时，则x0≠0，直线MN的方程为y=
| y0-1 |
| x0 |
此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，-2），（0，2）；
若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则0=
| y0-1 |
| x0 |
所以
| -2k2 |
| k2+4 |
| 8k |
| k2+4 |
| 2 |
| 3 |
若直线MN过椭圆G的顶点（-1，0），则0=-
| y0-1 |
| x0 |
所以
| -2k2 |
| k2+4 |
| 8k |
| k2+4 |
解得：k=-4+2
| 5 |
| 5 |
综上，当k=0或k=
| 2 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
| x2 |
| 2 |
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0）
则直线AC的方程为y+n=
| n |
| 2m |
过点P且与AP垂直的直线方程为y-n=-
| m |
| n |
①×②并整理得：
| x2 |
| 2 |
| m2 |
| 2 |
又P在椭圆W上，所以
| m2 |
| 2 |
所以
| x2 |
| 2 |
即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
| x2 |
| 2 |
根据题意可设P（m，n），则A（-m，-n），C（m，0），
∴kPA=
| n |
| m |
| n |
| 2m |
所以直线AC：y=
| n |
| 2m |
|
化简得(1+
| n2 |
| 2m2 |
| n2 |
| m |
| n2 |
| 2 |
所以xA+xB=
| 2mn2 |
| 2m2+n2 |
因为xA=-m，所以xB=
| 2m3+3mn2 |
| 2m2+n2 |
| n |
| 2m |
| n |
| 2 |
| n3 |
| 2m2+n2 |
所以kPB=
| ||
|
| m |
| n |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线垂直的证明，探索满足条件的实数的取值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想和函数方程思想的合理运用．
练习册系列答案
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