Question

已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．

Answer 1

（1）椭圆的方程为．(2)以四边形的面积的最大值为。

解析试题分析：（1）依题意，设椭圆的方程为．
构成等差数列，
， ．
又，．
椭圆的方程为．  4分 
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．              5分
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：．                        7分
设，，    9分
（法一）当时，设直线的倾斜角为，
则，
，       
， 11分
，当时，，，．
当时，四边形是矩形，．   13分
所以四边形面积的最大值为．    14分
（法二），
．
．
四边形的面积， 11分 
．   13分
当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为．     14分
考点：本题主要考查等差数列，椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，面积计算。
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。解题过程中，运用等差数列的基础知识求得了a,b,c的关系。