题目内容

（2012•江苏三模）如图，△ABC是边长为2
3
的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则
AP
•
BP
的取值范围是
[1，13]
[1，13]
．
分析：根据△ABC是边长为2
3
的等边三角形，算出
AP
•
BP
=6，分别将
AP
和
BP
分解为以
AC
、
BC
和
CP
为基向量的式子，将数量积
AP
•
BP
展开，化简整理得
AP
•
BP
=7++
CP
（
AC
+
BC
）最后研究
AC
+
BC
的大小与方向，可得
CP
（
AC
+
BC
）的最大、最小值，最终得到
AP
•
BP
的取值范围．
解答：解：∵|
AC
|=|
BC
|=2
3
，∠ACB=60°
∴
AC
•
BC
=2
3
•2
3
cos60°=6
∵
AP
=
AC
+
CP
，
BP
=
BC
+
CP

∴
AP
•
BP
=（
AC
+
CP
）（
BC
+
CP
）=
AC
•
BC
+
CP
（
AC
+
BC
）+
CP
2
∵|
CP
|=1
∴
AP
•
BP
=6+
CP
（
AC
+
BC
）+1=7+
CP
（
AC
+
BC
）
∵△ABC是边长为2
3
的等边三角形，
∴向量
AC
+
BC
是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点P在圆C上运动，当
CP
与
AC
+
BC
共线同向时，
CP
（
AC
+
BC
）取最大值，且这个最大值为6
当
CP
与
AC
+
BC
共线反向时，
CP
（
AC
+
BC
）取最小值，且这个最小值为-6
故
AP
•
BP
的最大值为7+6=13，最小值为7-6=1．即
AP
•
BP
的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]
点评：本题在等边三角形和单位圆中，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量的加减法则和平面向量数量积的运算性质，属于中档题．也可以利用向量的坐标运算，通过三角函数的有界性解决．
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（2）若A=-
1
2
，B=-
3
2
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2012
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求不超过P的最大整数的值．
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y≥0
x-2y≥0
x+y-3≤0
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5
6
5
6
．
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12
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3(n+1)
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