题目内容
【题目】已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1， 
）．过点P（1，1）分别作斜率为k1 ， k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】
（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）
∴2a=EF+EF′= 
，b2=a2﹣c2=2
∴所求椭圆方程为 
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则
①， 
②
②﹣①，可得k1= 
=﹣ 
=﹣ 
（3）证明：由题意，k1≠k2，
设M（xM，yM），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，
代入椭圆方程并化简得（ 
）x2+6k1k2x+ 
=0
∴ 
， 
同理， 
， 
当k1k2≠0时，直线MN的斜率k= 
= 
直线MN的方程为y﹣ 
= （x﹣ 
）
即 
此时直线过定点（0，﹣ ）
当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣ ）
综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣ ）
【解析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
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