Question

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=

2

3

x³-x²，试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知x=-2和x=1为f（x）的极值点，易得f'（-2）=f'（1）=0，从而解出a，b的值．
（Ⅱ）利用导数求解函数单调的方法步骤，进行求解．
（Ⅲ）比较大小，做差f（x）-g（x）=x²（e^x-1-x），构造新函数h（x）=e^x-1-x，在定义域内，求解h（x）与0的关系．

解答：解：（Ⅰ）因为f'（x）=e^x-1（2x+x²）+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
又x=-2和x=1为f（x）的极值点，所以f'（-2）=f'（1）=0，
因此

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解方程组得a=-

1

3

，b=-1．
（Ⅱ）因为a=-

1

3

，b=-1，所以f'（x）=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，解得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
因为当x∈（-∞，-2）∪（0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，0）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的；在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，
故f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），令h（x）=e^x-1-x，则h'（x）=e^x-1-1．
令h'（x）=0，得x=1，因为x∈（-∞，1]时，h'（x）≤0，
所以h（x）在x∈（-∞，1]上单调递减．故x∈（-∞，1]时，h（x）≥h（1）=0；
因为x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上单调递增．
故x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）=0．
所以对任意x∈（-∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x²≥0，因此f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

点评：本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．