Question

已知g(x)=mx+

1

3

，f(x)=

x3

3

-x，若对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），则m的取值范围是（　　）

• A．[0，

  1

  6

  ]
• B．[-

  1

  3

  ，0]
• C．[-

  1

  3

  ，

  1

  6

  ]
• D．[-

  1

  3

  ，1]

Answer 1

分析：根据对于任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函数g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-1，2]上值域，列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．

解答：解：根据对于任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函数g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集
f(x)=

x3

3

-x求导函数可得：f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1），∴函数f（x）在[-1，1）上单调减，在（1，2]上单调增
∴f（-1）=

2

3

，f（1）=-

2

3

，f（2）=

2

3

，∴f（x）在[-1，2]上值域是[-

2

3

，

2

3

]；
m＞0时，函数g（x）在[-1，2]上单调增，∴g（x）在[-1，2]上值域是[-m+

1

3

，2m+

1

3

]
∴-m+

1

3

≥-

2

3

且

2

3

≥2m+

1

3

∴0＜m≤

1

6

m=0时，g（x）=

1

3

满足题意；
m＜0时，函数g（x）在[-1，2]上单调减，∴g（x）在[-1，2]上值域是[2m+

1

3

，-m+

1

3

]
∴2m+

1

3

≥-

2

3

且

2

3

≥-m+

1

3

∴-

1

3

≤m＜0
综上知m的取值范围是[-

1

3

，

1

6

]
故选C．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．