题目内容

已知f(x)=x+
m
x
(m∈R)

(1)若函数y=log
1
2
[f(x)+2]
在区间[1,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.
(2)若m≤2,求函数g(x)=f(x)-lnx在区间[
1
2
,2]
上的最小值.
分析:(1)根据已知f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,说明其导数f′(x)在区间[1,+∞)上是大于0的,再利用常数分离法求出实数m的取值范围;
(2)把f(x)的解析式代入g(x),对g(x)进行求导,求出极值点,此时需要对m进行讨论,利用导数研究g(x)的最值问题;
解答:解:(1)由条件得到f(x)在区间[1,+∞)上是减函数且f(x)+2>0在区间[1,+∞)上恒成立,
f′(x)=1-
m
x2
≥0?m≤x2,在区间[1,+∞)上恒成立,得到m≤1,
f(x)+2>0在区间[1,+∞)上恒成立,得到m>-3,
所以实数m的取值范围是:(-3,1]…6分
(2)g(x)=x+
m
x
-lnx,则g′(x)=1-
m
x2
-
1
x
=
(x-
1
2
)
2
-(m+
1
4
)
x2

(一)若m≤-
1
4
时,g′(x)≥0,g(x)是[
1
2
,2]上的增函数,
所以g(x)min=g(
1
2
)=
1
2
+2m+ln2
…(9分)
(二)若-
1
4
≤m≤2
时,由g′(x)=0
得到x1=
1
2
-
m+
1
4
(<
1
2
),x2=
1
2
+
m+
1
4
(∈[
1
2
,2])

x∈[
1
2
x2]
时,g′(x)≤0,x∈[x2,2]时,g′(x)≥0,
所以g(x)min=g(x2)=
1
2
+
m+
1
4
+
m
1
2
+
m+
1
4
-ln(
1
2
+
m+
1
4
)
=2
m+
1
4
-ln(
1
2
+
m+
1
4
)
;…(12分)
点评:本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a),f(b) 比较而得到的,此题还考查了分类讨论的思想,此题是一道中档题;
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