题目内容
已知
f(x)=x+(m∈R),
(1)若函数
y=log[f(x)+2]在区间[1,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.
(2)若m≤2,求函数g(x)=f(x)-lnx在区间
[,2]上的最小值.
分析:(1)根据已知f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,说明其导数f′(x)在区间[1,+∞)上是大于0的,再利用常数分离法求出实数m的取值范围;
(2)把f(x)的解析式代入g(x),对g(x)进行求导,求出极值点,此时需要对m进行讨论,利用导数研究g(x)的最值问题;
解答:解:(1)由条件得到f(x)在区间[1,+∞)上是减函数且f(x)+2>0在区间[1,+∞)上恒成立,
f′(x)=1-
≥0?m≤x
2,在区间[1,+∞)上恒成立,得到m≤1,
f(x)+2>0在区间[1,+∞)上恒成立,得到m>-3,
所以实数m的取值范围是:(-3,1]…6分
(2)g(x)=x+
-lnx,则g′(x)=1-
-
=
,
(一)若m≤-
时,g′(x)≥0,g(x)是[
,2]上的增函数,
所以
g(x)min=g()=+2m+ln2…(9分)
(二)若
-≤m≤2时,由g′(x)=0
得到
x1=-(<),x2=+(∈[,2]),
且
x∈[,x2]时,g′(x)≤0,x∈[x
2,2]时,g′(x)≥0,
所以
g(x)min=g(x2)=++-ln(+)=
2-ln(+);…(12分)
点评:本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a),f(b) 比较而得到的,此题还考查了分类讨论的思想,此题是一道中档题;
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