Question

（2011•静海县一模）已知函数f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

） （x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）=1-

2

且x∈[-

π

4

，

π

4

]，求x的值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角变化将f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）转化为f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，从而可求其最小正周期；
（Ⅱ）由f（x）=1-

2

可求得sin（2x-

π

3

）=-

2

2

，再由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可求得2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，从而可求得x的值；
（Ⅲ）利用正弦型函数的单调递增性质即可求得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）
=

3

sin（2x-

π

6

）+1-cos（2x-

π

6

）
=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1=1-

2

，
∴sin（2x-

π

3

）=-

2

2

，
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴2x-

π

3

=-

3π

4

或2x-

π

3

=-

π

4

，
∴x=-

5π

24

或x=

π

24

．
（Ⅲ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查三角函数的周期性及其求法，求得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1是关键，考查正弦函数的性质，属于中档题．