题目内容
（2011•静海县一模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，
是
与(an+1)2的等比中项．
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）若b1=a1，且bn=2bn-1+3，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
| Sn |
| 1 |
| 4 |
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）若b1=a1，且bn=2bn-1+3，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若cn=
| an |
| bn+3 |
分析：（Ⅰ）利用
是
与(an+1)2的等比中项，可得Sn=
(an+1)2，再写一式，两式相减，即可求数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）确定数列{bn+3}是公比为2的等比数列，即可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法，即可求数列{cn}的前n项和Tn．
| Sn |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）确定数列{bn+3}是公比为2的等比数列，即可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法，即可求数列{cn}的前n项和Tn．
解答：（Ⅰ）证明：∵
是
与(an+1)2的等比中项，
∴Sn=
(an+1)2
∴n≥2时，Sn-1=
(an-1+1)2
两式相减可得（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵数列各项为正
∴an-an-1=2
∵n=1时，S1=
(a1+1)2
∴a1=1
∴数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列
∴an=2n-1；
（Ⅱ）解：∵bn=2bn-1+3，∴bn+3=2（bn-1+3），
∴数列{bn+3}是公比为2的等比数列
∵b1=a1=1，
∴b1+3=4，∴bn+3=2n+1
∴bn=2n+1-3；
（Ⅲ）解：在（Ⅱ）的条件下，cn=
=
，
∴Tn=
+
+…+
∴
Tn=
+
+…+
两式相减可得
Tn=
+
+…+
-
=
-
∴Tn=
-
．
| Sn |
| 1 |
| 4 |
∴Sn=
| 1 |
| 4 |
∴n≥2时，Sn-1=
| 1 |
| 4 |
两式相减可得（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵数列各项为正
∴an-an-1=2
∵n=1时，S1=
| 1 |
| 4 |
∴a1=1
∴数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列
∴an=2n-1；
（Ⅱ）解：∵bn=2bn-1+3，∴bn+3=2（bn-1+3），
∴数列{bn+3}是公比为2的等比数列
∵b1=a1=1，
∴b1+3=4，∴bn+3=2n+1
∴bn=2n+1-3；
（Ⅲ）解：在（Ⅱ）的条件下，cn=
| an |
| bn+3 |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
∴Tn=
| 1 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 23 |
| 3 |
| 24 |
| 2n-1 |
| 2n+2 |
两式相减可得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 2n+1 |
| 2n-1 |
| 2n+2 |
| 3 |
| 4 |
| 2n+5 |
| 2n+2 |
∴Tn=
| 3 |
| 2 |
| 2n+5 |
| 2n+1 |
点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，看下错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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