题目内容
已知函数
（a≠0且a≠1）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在
上单调递减，在
上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；（3）（理）记（2）中的函数的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
（文） 记（2）中的函数的图象为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．
【答案】分析：（1）由于a≠0且a≠1，
=
（x+
），由双钩函数y=x+
（m＞0）在（-∞，-
]，[
，+∞）上单调递增，在[-
，0），（0，
]单调递减，可判断f（x）在当a＜0或当a＞1时的单调区间；当0＜a＜1时，可由y=
为R上的增函数，y=
为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，判断即可；
（2）由题意及（1）中③可知
且a＞1，可解得a=3，从而可求得函数解析；
（3）（理） 假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，可设l：y=kx（k≠0），设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
（文）先判断函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再证明f（-x）=-f（x）即可．
解答：解：∵
=
（x+
），
∴由双钩函数y=x+
（m＞0）在（-∞，-
]，[
，+∞）上单调递增，在[-
，0），（0，
]单调递减，可得：
①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为
及
，
②当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为
及
；
又当0＜a＜1时，y=
为R上的增函数，y=
为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，
∴③当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）
（2）由题设及（1）中③知
且a＞1，解得a=3，（9分）
因此函数解析式为
（x≠0）． （10分）
（3）（理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，由此得
，
，
且
，
，（14分）
整理得
，解得
或
，
所以存在直线
及
为曲线C的对称轴． （16分）
（文）该函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲线C的对称中心为（0，0），
因为对任意x∈D，
，
所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形． （10分）
点评：本题考查函数奇偶性、单调性与对称性，函数解析式的求解，（1）由实数a的不同取值，研究函数的单调区间是难点，可以利用导数研究，着重考查综合分析、综合应用的能力，属于难题．
=（x+），由双钩函数y=x+（m＞0）在（-∞，-]，[，+∞）上单调递增，在[-，0），（0，]单调递减，可判断f（x）在当a＜0或当a＞1时的单调区间；当0＜a＜1时，可由y=为R上的增函数，y=为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，判断即可；（2）由题意及（1）中③可知
且a＞1，可解得a=3，从而可求得函数解析； （3）（理） 假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，可设l：y=kx（k≠0），设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
（文）先判断函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再证明f（-x）=-f（x）即可．
解答：解：∵
=（x+），∴由双钩函数y=x+
（m＞0）在（-∞，-]，[，+∞）上单调递增，在[-，0），（0，]单调递减，可得：①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为
及，②当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为
及；又当0＜a＜1时，y=
为R上的增函数，y=为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，∴③当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）
（2）由题设及（1）中③知
且a＞1，解得a=3，（9分）因此函数解析式为
（x≠0）． （10分）（3）（理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，由此得
，，且
，，（14分）整理得
，解得或，所以存在直线
及为曲线C的对称轴． （16分）（文）该函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲线C的对称中心为（0，0），
因为对任意x∈D，
，所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形． （10分）
点评：本题考查函数奇偶性、单调性与对称性，函数解析式的求解，（1）由实数a的不同取值，研究函数的单调区间是难点，可以利用导数研究，着重考查综合分析、综合应用的能力，属于难题．
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上单调递减，在
上单调递增，求a的值并写出函数
的解析式；
的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．