Question

8．已知函数f（x）=|2x+1|+||x-1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）设函数g（x）=log₂（|2x+1|+||x-1|-a）的定义域为全体实数R，求实数a的取值范围；当值域是全体实数R时，求出实数a取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）当函数g（x）=log₂（|2x+1|+||x-1|-a）的定义域为全体实数R，可得f（x）的最小值f（-$\frac{1}{2}$）＞a，由此求得a的范围．
当值域是R时，函数f（x）=|2x+1|+||x-1|能够取遍所有的正数，再根据f（-$\frac{1}{2}$）-a≤0，求得a的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|+||x-1|＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+1-x＜2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜1}\\{2x+1+1-x＜2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x+1+x-1＜2}\end{array}\right.$③．
解①求得-$\frac{2}{3}$＜x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$x＜0，解③求得x∈∅．
综上可得-$\frac{2}{3}$＜x＜0，故原不等式的解集为{x|-$\frac{2}{3}$＜x＜0}．
（2）由函数g（x）=log₂（|2x+1|+||x-1|-a）的定义域为全体实数R，
可得|2x+1|+||x-1|-a＞0 恒成立，即|2x+1|+||x-1|＞a 恒成立，
故f（x）的最小值f（-$\frac{1}{2}$）＞a，即 a＜$\frac{3}{2}$．
当值域是全体实数R时，函数f（x）=|2x+1|+||x-1|能够取遍所有的正数，
故f（x）的最小值f（-$\frac{1}{2}$）-a≤0，求得 a≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．