Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B的两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示点M的坐标．
（Ⅱ）

FM

•

AB

是否为定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
（III）设△ABM的面积为S，试确定S的最小值．

Answer 1

由x²=2py，得y=

x2

2p

，故y′=

x

p

，切线AM的方程为y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x1 2

2p

①，
切线BM的方程为：y-y2=

x2

p

(x-x2)即y=

x2

p

x-

x2 2

2p

②
由①②联立解得M的坐标是（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
（2）F（0，

p

2

），

FM

=（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

-

p

2

），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，

x2 2-x1 2

2p

），

FM

•

AB

=

x2 2-x1 2

2

+（

x2x1

2p

-

p

2

）

x2 2-x1 2

2p

③
由A，B，F三点共线得k_AF=k_BF∴

y1- p 2

x1

=

y2- p 2

x2

，将y₁=

x1 2

2p

，y2=

x2 2

2p

代入整理得x₁x₂=-p²④，
把④代入③得

FM

•

AB

=0
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面积为S=

1

2

AB×FM=

1

2

（y1+

p

2

+y2+

p

2

，

( x1+x2 2 )2+( x2x1 2p - p 2 )2

）=

1

2

（

x1 2+x2 2

2p

+p）

x1 2+x2 2 4 + p2 2

∵x₁²+x₂²≥2|x₁x₂|
∴x₁²+x₂²≥2p²（当且仅当x₁=-x₂时等号成立）
∴S的最小值是

1

2

p2