Question

1．已知焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），F₁，F₂是它的两个焦点，若椭圆上的点到焦点距离的最大值与最小值的差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过右焦点F₂的直线l与椭圆相交于A、B两点，且$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆上的点到焦点距离的最大值与最小值的差为2，可得（a+c）-（a-c）=2，解得c．进而得出b²=a²-c²．
（2）设直线l的方程为my=x-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（3m²+4）y²+6my-9=0．由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，可得y₁+2y₂=0，与根与系数的关系联立解出即可．

解答 解：（1）∵椭圆上的点到焦点距离的最大值与最小值的差为2，
∴（a+c）-（a-c）=2，解得c=1．
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为my=x-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．（*）
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
∴y₁+2y₂=0，
与（*）联立可得：y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
y₁=$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$×$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
化为m²=$\frac{4}{5}$，
解得m=$±\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴直线l的方程为：y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x-1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“直线与椭圆相交问题、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．