题目内容

规定函数y=f(x)图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f(x)的“中心距离”,给出以下四个命题:以下命题是真命题的是
 
(写出所有其命题的序号)
①函数y=
1
x
的“中心距离”大于1;
②函数y=
5-4x-x2
的“中心距离”大于1;
③若函数y=f(x)(x∈R)与y=g(x)(x∈R)的“中心距离相等”,则函数L(x)=f(x)-g(x)至少有一个零点;
④f(x)是其定义域上的奇函数,是它的“中心距离”为0的充分不必要条件.
分析:在函数y=
1
x
的图象上任取一点P(b,
1
b
),利用两点间距离公式和均值定理能判断出①正确,再分别举出反例判断出②,③,④均不正确.
解答:解:①在函数y=
1
x
的图象上任取一点P(a,b),则a=
1
b

∴点P(a,b)到原点距离d=
a2+b2
=
1
b2
+b2
2
>1,
∴函数y=
1
x
的“中心距离”大于1,故①正确;
②∵函数y=
5-4x-x2
上的点(1,0)到原点距离d1=1,
∴函数y=
5-4x-x2
的“中心距离”大于1不正确,故②错误;
③∵函数y=f(x)=1与y=g(x)=-1的“中心距离相等”,
L(x)=f(x)-g(x)=2没有零点,
∴函数L(x)=f(x)-g(x)至少有一个零点不正确,故③错误;
④由①知奇函数y=
1
x
的“中心距离”是
2
,故④错误.
故答案为:①.
点评:本题考查真假命题的判断,当判断一个命题为真命题时要给出具体的判断过程,当判断一个命题为假命题时只需举出一个反例即可.
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