题目内容
规定maxf(x),g(x)=
| f(x),f(x)≥g(x) | g(x),f(x)<g(x) |
| |
,若定义在R上的奇函数F(x)满足:当x>0时,F(x)=max1-log
2x,1+log
2x.
(1)求F(x)的解析式,并写出F(x)的单调区间;
(2)若方程F(x)=m有唯一实数解,求实数m的值;
(3)求t>0时,函数y=F(x)在x∈[t,2]上的值域.
分析:(1)根据题中定义的函数和奇函数的定义求出函数的解析式,由解析式和对数函数的图象画出函数的简图,根据图象求出函数的单调区间;
(2)由(1)的函数解析式和图象,方程有一个根时即对应图象由一个交点时,求出m的值;
(3)由函数解析式求出
F()=F(2),根据t的取值分三种情况,根据函数的单调性求出对应的函数的值域.
解答:
解:(1)根据题意和奇函数的定义得,
F(x)= | -1-log2(-x)?x∈(-∞,-1) | -1+log2(-x)?x∈[-1,0) | ??0????x=0 | 1-log2x???x∈(0,1] | 1+log2x???x∈(1,+∞) |
| |
,
由函数解析式和对数函数的图象作出此函数图象如右图:
由图得,F(x)增区间为(1,+∞),(-∞,-1),
减区间为(0,1),(-1,0),
(2)由函数的解析式和图象得,方程F(x)=m有唯一实数解时,有m=-1,0,1,
(3)由函数解析式求得,
F()=F(2),故分三种情况求值域:
当
0<t<时,则函数在此区间上是减函数,故y=F(x)值域为[1,1-log
2t],
当
≤t≤1时,则函数在此区间上是减函数,故y=F(x)值域为[1,2]
当1<t≤2时,则函数在此区间上是增函数,故y=F(x)值域为[1+log
2t,2].
点评:本题是有关新定义和函数的综合题,主要根据定义和奇函数的定义求出解析式,再由对数函数的图象作出函数图象,根据图象求解,对于求函数的值域关键求出分界点,再分类并且根据单调性求出值域,考查了数形结合思想和分类讨论思想.
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