Question

2．试证：对任意大于1的正整数n有$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用裂项法求出左边的和，即可证明结论．

解答 证明：左边=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查裂项法求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．