Question

如图（1）在直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=

6

，A是线段PD的中点，E是线段AB的中点；如图（2），沿AB把平面PAB折起，使二面角P-CD-B成45°角．
（1）求证PA⊥平面ABCD；
（2）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中，直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=

6

，A是线段PD的中点，E是线段AB的中点，可得AB⊥PA，AB⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAD，进而DC⊥平面PAD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，根据已知中二面角P-CD-B成45°角，可得PA⊥AD，结合PA⊥AB及线面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分析求出平面PEC和平面PAD的法向量，代入向量坐标公式，即可求出答案．

解答：证明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD（2分）
∵AB∥DC∴DC⊥平面PAD，
DC⊥PD，DC⊥AD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，故∠PDA=45°（4分）
∵PA=AD=3，∠PDA=45°，∴PA⊥AD
又∵PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD（6分）
解：（2）如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（

6

，0，0），C（

6

，3，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），E（

6

2

，0，0）（8分）
由（1）知

AB

=（

6

，0，0）是平面PAD的法向量，
设平面PEC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

PE - n =0 PC - n =0

，得

( 6 2 ，0，-3)-(x，y，z)=0 ( 6 2 ，0，-3)- (x，y，z)=0

（10分）
由

x= 6 z 6 x+3y-3z=0

，
令z=1得

n

=（

6

，-1，1），（12分）
设向量

AB

与

n

所成的角为θ，
则：cosθ=

AB - n

| AB |-| n |

=

( 6 ，0，0)?( 6 ，-1，1)

6 ×2 2

=

3

2

∴向量

AB

与

n

所成的角为30°，（13分）
故平面PEC和平面PAD所成的二面角为30°．（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．