Question

如图（1）在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，点D为AP的中点，点E、F、G分别这PC、PD、CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图（2）．
（1）求证：PA∥平面EFG；
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的绝对值．

Answer 1

分析：（1）要证PA∥平面EFG，可以证明PA所在平面与平面FEG平行即可．
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的绝对值．建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解即可．

解答：解：由题意，将△PCD沿CD折起后，PA⊥平面ABCD．四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2．
（1）因为点E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，
所以EF∥CD，EG∥PB．
又因为CD∥AB，所以EF∥AB，因为AB?平面EFG，
EF?平面EFG，所以AB∥平面EFG，
同理PBAB∥平面EFG，又因为PB∩AB=B，
所以平面EFG∥平面PAB，PA?平面PAB，
所以PA∥平面EFG．
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
则D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），

DF

=(0，0，1)，

DG

=(1，2，0)，

EF

=(0，-1，0)，

EG

=(1，1，-1).
求出平面DFG的法向量m=（-2，1，0），
平面EFG的法向量，n=（1，0，1）．
所以|cos?m，n?|=

|m•n|

|m||n|

=

10

5

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点评：本题考查空间平面与平面之间的位置关系，空间直角坐标系，法向量，数量积等知识，是难题．