Question

已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，当x∈[0，4]时，f（x）=2x-x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式 2f(x)＞

1

8

．

Answer 1

分析：（1）令-4≤x≤0，则0≤-x≤4，结合0≤x≤4时f（x）的解析式，可求得x＜0时的函数解析式，综合可得答案；
（2）由指数幂的运算，可将原不等式转化为2^f（x）＞2^-3，再结合指数函数的性质，可将原不等式转化为f（x）＞-3，由（1）求得的f（x）的解析式，分段讨论，求出x的范围，综合可得答案．

解答：解：（1）当-4≤x≤0时，则0≤-x≤4，
f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²，
则f（x）=

2x-x2(0≤x≤4) 2x+x2(-4≤x＜0)

；
（2）由2^-3=

1

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，则2f(x)＞

1

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?2^f（x）＞2^-3，
又由y=2^x为增函数，则原不等式可化为f（x）＞-3，
当0≤x≤4时，f（x）=2x-x²＞-3，解可得-1＜x＜3，又由0≤x≤4，则x的范围是0≤x＜3；
当-4≤x＜0时，f（x）=2x+x²＞-3，即x²+2x+3＞0，变形可得（x+1）²+2＞0，
易得其在-4≤x＜0恒成立，则x的范围是-4≤x＜0；
综合可得，x的取值范围是-4≤x＜3．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及指数函数的性质应用；属于函数知识的综合应用，注意对于函数的解析式要用分段函数的形式．