题目内容

设x=1和x=2是函数f（x）=x3+ax2+bx+1的两个极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
分析：（Ⅰ）三次函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=1和x=2时取极值，说明方程f′（x）=0的两个根为1和2，求出a与b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）的解析式，利用导数研究函数的单调性．
解答：解：（Ⅰ）∵三次函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=1和x=2时取极值，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
∴
f′(1)=0 
f′(2)=0 
可得
3+2a+b=0
3•22+4a+b=0

解得
a=-
9
2
b=6
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x2+2ax+b=3（x-1）（x-2），
若f′（x）＞0即x＞2或x＜1，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0即1＜x＜2，f（x）为减函数，
因此f（x）的单调增区间是（-∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间是（1，2）．
点评：此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点．
练习册系列答案
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由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列bn，bn=f-1（n）若对于任意n∈N*都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=
px+1
x+1
，若由函数f（x）确定的数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
（2）已知正整数列{cn}的前项和sn=
1
2
（cn+
n
cn
）．写出Sn表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=
-1
anSn2
，Dn是数列{dn}的前n项和，且Dn＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

函数的概念

设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y＝f(x)，x∈A．

其中x叫________，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的________；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函数y＝f(x)的________．函数符号y＝f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数________．

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f：A→B，这里A、B为________的数集．

(2)A：定义域；{f(x)|x∈A}：值域，其中{f(x)|x∈A}________B；f：对应法则，x∈A，y∈B．

(3)函数符号：y＝f(x)y是x的函数，简记f(x)．
(1)设从集合A到集合B的映射f: A→B，如果A、B都是　　　　　，那么这个映射就叫做从集合A到集合B的函数；通常记作y是x的函数，即y=f(x)，其中x叫做自变量，x∈A,y叫做函数值，y∈B.此时A叫做函数的定义域，和x对应的函数值的集合C叫做函数的值域，显然CB，当x=a∈A时，对应的函数值记为　　　　　.?

(2)函数的三要素:函数由　　　　　、　　　　　以及从定义域到值域的　　　　　三部分组成的特殊的映射.?

(3)函数的表示法:　　　　　　　、　　　　　　　　、　　　　　　　　.
由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列bn，bn=f-1（n）若对于任意n∈N*都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=，若由函数f（x）确定的数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
（2）已知正整数列{cn}的前项和sn=（cn+）．写出Sn表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=，Dn是数列{dn}的前n项和，且Dn＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．
由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列bn，bn=f-1（n）若对于任意n∈N*都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=，若由函数f（x）确定的数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
（2）已知正整数列{cn}的前项和sn=（cn+）．写出Sn表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=，Dn是数列{dn}的前n项和，且Dn＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

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