题目内容
设有两个命题p、q,其中命题p:对于任意的x∈R,不等式ax2+2x+1>0恒成立;命题q:f(x)=(4a-3)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数a的取值范围是 .
【答案】分析:根据二次函数的性质,我们可得不等式ax2+2x+1>0恒成立时,a的取值范围,根据指数函数的单调性我们可得f(x)=(4a-3)x在R上为减函数时,a的取值范围,进而根据两个命题中有且只有一个是真命题,分p为真命题,q为假命题,和p为假命题,q为真命题两种情况讨论可得实数a的取值范围
解答:解:若命题p:对于任意的x∈R,不等式ax2+2x+1>0恒成立
当a=0时,2x+1>0不恒成立;
当
时?a>1.
所以命题p为真命题?a>1.
命题q为真命题?0<4a-3<1?
<a<1.
∵两个命题中有且只有一个是真命题
若p为真命题,q为假命题,a>1;
若p为假命题,q为真命题,
<a<1;
∴a的取值范围是(
,1)∪(1,+∞)
故答案为:(
,1)∪(1,+∞)
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断,二次函数的图象和性质及指数函数的图象和性质,其中根据函数性质分析出两个命题对应的a的取值范围是解答的关键.
解答:解:若命题p:对于任意的x∈R,不等式ax2+2x+1>0恒成立
当a=0时,2x+1>0不恒成立;
当
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所以命题p为真命题?a>1.
命题q为真命题?0<4a-3<1?
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∵两个命题中有且只有一个是真命题
若p为真命题,q为假命题,a>1;
若p为假命题,q为真命题,
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∴a的取值范围是(
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故答案为:(
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点评:本题考查的知识点是命题的真假判断,二次函数的图象和性质及指数函数的图象和性质,其中根据函数性质分析出两个命题对应的a的取值范围是解答的关键.
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