题目内容

定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．对于函数f(x)=lnx+
12
x2在区间（0，+∞）满足利普希茨条件，则常数k的最大值为
 
．
分析：由所给的定义，将：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立变为
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≥k，此意义为k小于等于函数的导数的绝对值的最小值．由此关系求k
解答：解：由题意：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立变为
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≥k，
∵函数f(x)=lnx+
1
2
x2在区间（0，+∞）满足利普希茨条件
∴f′(x)=
1
x
+x
又x∈（0，+∞）
故f′(x)=
1
x
+x≥2在区间（0，+∞）恒成立
故常数k的最大值为2
故答案为2
点评：本题考查函数的最值的应用，求解本题的关键是正确理解定义且能对
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≥k进行转化，转变为求导数的最小值来求参数的取值范围，本题易因为对导数的意义与本题中所给的定义不理解而导致错误，解题时要注意积累这方面的转化经验．
练习册系列答案
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定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．对于函数f（x）=sinx满足利普希茨条件，则常数k的最小值为
 
．
定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=
x
（x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）
（理）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．
（1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；
（2）若函数f(x)=
x+1
在[1，+∞)上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；
（3）现有函数f（x）=sinx，请找出所有的一次函数g（x），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）满足利普希茨（Lipschitz）条件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(
3π
4
)=
2
sin(
3π
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．
定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x12-x22|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足类利普希茨条件．对于函数f(x)=
x
(x≥1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）

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