Question

定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k（x₁-x₂|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=

x

（x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：首先根据函数 f(x)=

x

(x≥1)满足利普希茨条件，得到k满足不等式k≥

x1 - x2

x1- x2|

=

1

x1 + x2

；然后由x₁，x₂∈[1，+∞），得

1

x1 + x2

的取值范围，而k只需大于等于 

1

x1 + x2

的最大值即可．

解答：解：由已知中中利普希茨条件的定义
若函数f（x）=

x

（x≥1）满足利普希茨条件，
所以存在常数k，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，
 不妨设x₁＞x₂，则k≥

x1 - x2

x1-x2

=

1

x1 + x2

．
 而0＜

1

x1 + x2

＜

1

2

，所以k的最小值为

1

2

．
故选C

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，在能力上主要考查对新信息的理解力；及分离参数利用不等式求最值的方法．