题目内容
(理)定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有:|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称f(x)在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.
(1)试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k的值,并加以验证;
(2)若函数f(x)=
在[1,+∞)上满足利普希茨(Lipschitz)条件,求常数k的最小值;
(3)现有函数f(x)=sinx,请找出所有的一次函数g(x),使得下列条件同时成立:
①函数g(x)满足利普希茨(Lipschitz)条件;
②方程g(x)=0的根t也是方程f(
)=
sin(
-
)=-
cos
=-1;
③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0,2π)上有且仅有一解.
(1)试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k的值,并加以验证;
(2)若函数f(x)=
x+1 |
(3)现有函数f(x)=sinx,请找出所有的一次函数g(x),使得下列条件同时成立:
①函数g(x)满足利普希茨(Lipschitz)条件;
②方程g(x)=0的根t也是方程f(
3π |
4 |
2 |
3π |
2 |
π |
4 |
2 |
π |
4 |
③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0,2π)上有且仅有一解.
分析:(1)任意举出一个一次函数都满足题意;
(2)直接把f()x=
代入|
|,求出最大值后得满足|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|的k的最小值;
(3)由(1)可知所有一次函数满足①,设出一次函数后由f(g(x))=g(f(x))求出具体函数解析式,构造辅助函数h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,然后对k大于0分类分析跟的情况,经分析可知k>
时方程h(x)=0根不唯一,证明k∈(0,
]时符合题意.由此得到满足三个条件的所有一次函数.
(2)直接把f()x=
x+1 |
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
(3)由(1)可知所有一次函数满足①,设出一次函数后由f(g(x))=g(f(x))求出具体函数解析式,构造辅助函数h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,然后对k大于0分类分析跟的情况,经分析可知k>
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:解:(1)函数f(x)=x,由|x1-x2|≤2|x1-x2|知,k=2满足题意;
(2)∵f(x)=
在[1,+∞)上为增函数,
∴对任意x1,x2∈[1,+∞)都有
=|
|=
<
=
.
∴kmin=
;
(3)由于所有一次函数均满足(1),故设g(x)=kx+b(k≠0),
∵t是g(x)=0的根,∴g(t)=0,则t=-
,又f(f(t))=g(f(t)),
∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx.
若k符合题意,则-k也符合题意,故以下仅考虑k>0的情形.
设h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx.
①若k≥1,则有h(
)=sinπ-ksin
<0,
且h(
)=sin
-ksin
=sin
+k≥0.
∴在[
,
]中另有一根,矛盾;
②若
<k<1,h(
)=sinπ-ksin
≥0.
h(2π)=sin2kπ-ksin2π≥0.
∴在[
,2π]中另有一根,矛盾;
∴0<k≤
.
以下证明对任意的k∈(0,
]g(x)=kx符合题意.
当x∈(0,
]时,由y=sinx的图象在连结两点(0,0),(x,sinx)的线段的上方,
知sinkx>ksinx,∴h(x)>0.
当x∈(
,
]时,sinkx>sin
≥ksin
≥ksinx.
∴h(x)>0.
当x∈(
,2π)时,sinkx>0,sinx<0,∴h(x)>0.
综上,h(x)=0有且仅有一个解x=0,∴g(x)=kx在k∈(0,
]满足题意.
综上,g(x)=kx,k∈[-
,0)∪(0,
].
(2)∵f(x)=
x+1 |
∴对任意x1,x2∈[1,+∞)都有
|f(x1)-f(x2)| |
|x1-x2| |
| ||||
(x1+1)-(x2+1) |
1 | ||||
|
1 | ||
2
|
| ||
4 |
∴kmin=
| ||
4 |
(3)由于所有一次函数均满足(1),故设g(x)=kx+b(k≠0),
∵t是g(x)=0的根,∴g(t)=0,则t=-
b |
k |
∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx.
若k符合题意,则-k也符合题意,故以下仅考虑k>0的情形.
设h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx.
①若k≥1,则有h(
π |
k |
π |
k |
且h(
3π |
2 |
3kπ |
2 |
3π |
2 |
3kπ |
2 |
∴在[
π |
k |
3π |
2 |
②若
1 |
2 |
π |
k |
π |
k |
h(2π)=sin2kπ-ksin2π≥0.
∴在[
π |
k |
∴0<k≤
1 |
2 |
以下证明对任意的k∈(0,
1 |
2 |
当x∈(0,
π |
2 |
知sinkx>ksinx,∴h(x)>0.
当x∈(
π |
2 |
π |
2k |
kπ |
2 |
π |
2 |
∴h(x)>0.
当x∈(
kπ |
2 |
综上,h(x)=0有且仅有一个解x=0,∴g(x)=kx在k∈(0,
1 |
2 |
综上,g(x)=kx,k∈[-
1 |
2 |
1 |
2 |
点评:此题是个难题,考查抽象函数及其应用,以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性,并根据函数的单调性解函数值不等式,体现了转化的思想,在转化过程中一定注意函数的定义域.解决抽象函数的问题一般应用赋值法.特别是问题(3)对满足条件的函数限制,增加了题目的难度,综合性强.
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