题目内容

(理)定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有:|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称f(x)在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.
(1)试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k的值,并加以验证;
(2)若函数f(x)=
x+1
在[1,+∞)
上满足利普希茨(Lipschitz)条件,求常数k的最小值;
(3)现有函数f(x)=sinx,请找出所有的一次函数g(x),使得下列条件同时成立:
①函数g(x)满足利普希茨(Lipschitz)条件;
②方程g(x)=0的根t也是方程f(
4
)=
2
sin(
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1

③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0,2π)上有且仅有一解.
分析:(1)任意举出一个一次函数都满足题意;
(2)直接把f()x=
x+1
代入|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|
,求出最大值后得满足|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|的k的最小值;
(3)由(1)可知所有一次函数满足①,设出一次函数后由f(g(x))=g(f(x))求出具体函数解析式,构造辅助函数h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,然后对k大于0分类分析跟的情况,经分析可知k>
1
2
时方程h(x)=0根不唯一,证明k∈(0,
1
2
]
时符合题意.由此得到满足三个条件的所有一次函数.
解答:解:(1)函数f(x)=x,由|x1-x2|≤2|x1-x2|知,k=2满足题意;
(2)∵f(x)=
x+1
在[1,+∞)
上为增函数,
∴对任意x1,x2∈[1,+∞)都有
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
=|
x1+1
-
x2+1
(x1+1)-(x2+1)
|=
1
x1+1
+
x2+1
1
2
2
=
2
4

kmin=
2
4

(3)由于所有一次函数均满足(1),故设g(x)=kx+b(k≠0),
∵t是g(x)=0的根,∴g(t)=0,则t=-
b
k
,又f(f(t))=g(f(t)),
∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx.
若k符合题意,则-k也符合题意,故以下仅考虑k>0的情形.
设h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx.
①若k≥1,则有h(
π
k
)=sinπ-ksin
π
k
<0

h(
2
)=sin
3kπ
2
-ksin
2
=sin
3kπ
2
+k≥0

∴在[
π
k
2
]
中另有一根,矛盾;
②若
1
2
<k<1
h(
π
k
)=sinπ-ksin
π
k
≥0

h(2π)=sin2kπ-ksin2π≥0.
∴在[
π
k
,2π]
中另有一根,矛盾;
∴0<k
1
2

以下证明对任意的k∈(0,
1
2
]
g(x)=kx符合题意.
当x∈(0,
π
2
]时,由y=sinx的图象在连结两点(0,0),(x,sinx)的线段的上方,
知sinkx>ksinx,∴h(x)>0.
当x∈(
π
2
π
2k
]
时,sinkx>sin
2
≥ksin
π
2
≥ksinx

∴h(x)>0.
当x∈(
2
,2π)
时,sinkx>0,sinx<0,∴h(x)>0.
综上,h(x)=0有且仅有一个解x=0,∴g(x)=kx在k∈(0,
1
2
]满足题意.
综上,g(x)=kx,k∈[-
1
2
,0)∪(0,
1
2
]
点评:此题是个难题,考查抽象函数及其应用,以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性,并根据函数的单调性解函数值不等式,体现了转化的思想,在转化过程中一定注意函数的定义域.解决抽象函数的问题一般应用赋值法.特别是问题(3)对满足条件的函数限制,增加了题目的难度,综合性强.
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