Question

已知分别以d₁，d₂为公差的等差数列{a_n}，{b_n}满足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+14-45，求证：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且数列a₁，a₂，---，a_k，b_k+1，b_k+2，---，b₁₄的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令cn=2an，dn=2bn，问不等式c_nd_n+1≤c_n+d_n是否对n∈N^*恒成立？请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，[18+（m-1）×18]²=36+（m+14-14）d₂-45，
即（18m）²=md₂-9，即d2=182m+

9

m

≥2

182×9

=108；
等号成立的条件为182m=

9

m

，即m=

1

6

，
∵m∈N^*，∴等号不成立，
∴原命题成立．
（2）由S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，即：

18+0

2

×k=

36+0

2

×(14-k+1)，
则9k=18×（15-k），得k=10d1=

0-18

9

=-2，d2=

36-0

14-10

=9，
则a_n=-2n+20，b_n=9n-90；
（3）在（2）的条件下，cn=2an，dn=2bn，
要使c_nd_n+1≤c_n+d_n，即要满足（c_n-1）（d_n-1）≤0，
又c_n=2^20-2n=4^10-n，d_n=2^9n-90=512^n-10，
∴数列{c_n}单调减；{d_n}单调增，
①当正整数n＜10时，c_n-1＞0，d_n-1＜0，（c_n-1）（d_n-1）＜0；
②当正整数n＞10时，c_n-1＜0，d_n-1＞0，（c_n-1）（d_n-1）＜0；
③当正整数n=10时，c_n-1=0，d_n-1=0，（c_n-1）（d_n-1）=0，
综上所述，对n∈N₊，不等式c_nd_n+1≤c_n+d_n恒成立．