题目内容
已知分别以d1，d2为公差的等差数列{an}，{bn}满足a1=18，b14=36．（1）若d1=18，且存在正整数m，使得am2=bm+14-45，求证：d2＞108；
（2）若ak=bk=0，且数列a1，a2，…，ak，bk+1，bk+2，…，b14的前n项和Sn满足S14=2Sk，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令cn=2an，dn=2bn，问不等式cndn+1≤cn+dn是否对n∈N*恒成立？请说明理由．
分析：（1）根据等差数列的通项公式分别表示出am和bm+14，代入am2=bm+14-45，求得 d2=182m+
，根据均值不等式求得d2的范围，原式得证．
（2）根据S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，再根据等差数列的求和公式，进而求得d1和d2，根据等差数列的通项公式进而求得an和bn的通项公式．
（3）在（2）的条件下，求出cn=220-2n=410-n，dn=29n-90=512n-10，判断出数列{cn}单调减；{dn}单调增，对n分三种情况进行讨论，求出（cn-1）（dn-1）≤0恒成立．
| 9 |
| m |
（2）根据S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，再根据等差数列的求和公式，进而求得d1和d2，根据等差数列的通项公式进而求得an和bn的通项公式．
（3）在（2）的条件下，求出cn=220-2n=410-n，dn=29n-90=512n-10，判断出数列{cn}单调减；{dn}单调增，对n分三种情况进行讨论，求出（cn-1）（dn-1）≤0恒成立．
解答：解：（1）依题意，[18+（m-1）×18]2=36+（m+14-14）d2-45，
即（18m）2=md2-9，即d2=182m+
≥2
=108；
等号成立的条件为182m=
，即m=
，
∵m∈N*，∴等号不成立，
∴原命题成立．
（2）由S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，即：
×k=
×(14-k+1)，
则9k=18×（15-k），得k=10d1=
=-2，d2=
=9，
则an=-2n+20，bn=9n-90；
（3）在（2）的条件下，cn=2an，dn=2bn，
要使cndn+1≤cn+dn，即要满足（cn-1）（dn-1）≤0，
又cn=220-2n=410-n，dn=29n-90=512n-10，
∴数列{cn}单调减；{dn}单调增，
①当正整数n＜10时，cn-1＞0，dn-1＜0，（cn-1）（dn-1）＜0；
②当正整数n＞10时，cn-1＜0，dn-1＞0，（cn-1）（dn-1）＜0；
③当正整数n=10时，cn-1=0，dn-1=0，（cn-1）（dn-1）=0，
综上所述，对n∈N+，不等式cndn+1≤cn+dn恒成立．
即（18m）2=md2-9，即d2=182m+
| 9 |
| m |
| 182×9 |
等号成立的条件为182m=
| 9 |
| m |
| 1 |
| 6 |
∵m∈N*，∴等号不成立，
∴原命题成立．
（2）由S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，即：
| 18+0 |
| 2 |
| 36+0 |
| 2 |
则9k=18×（15-k），得k=10d1=
| 0-18 |
| 9 |
| 36-0 |
| 14-10 |
则an=-2n+20，bn=9n-90；
（3）在（2）的条件下，cn=2an，dn=2bn，
要使cndn+1≤cn+dn，即要满足（cn-1）（dn-1）≤0，
又cn=220-2n=410-n，dn=29n-90=512n-10，
∴数列{cn}单调减；{dn}单调增，
①当正整数n＜10时，cn-1＞0，dn-1＜0，（cn-1）（dn-1）＜0；
②当正整数n＞10时，cn-1＜0，dn-1＞0，（cn-1）（dn-1）＜0；
③当正整数n=10时，cn-1=0，dn-1=0，（cn-1）（dn-1）=0，
综上所述，对n∈N+，不等式cndn+1≤cn+dn恒成立．
点评：解决等差数列、等比数列两个特殊数列的有关问题时，一般利用它们的通项公式及前n项和公式列出方程组，求出基本量再解决．
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