题目内容
4.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n .(1)设bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$,证明:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=$\frac{1}{2}$Sn(n=1,2,3,…),求数列{an}的通项公式.
分析 (1)由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1,由此能证明数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,并能求出数列{an}的通项公式.
(2)由${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$,利用错位相减法能求出Sn,由此能求出数列{an}的通项公式.
解答 (1)证明:∵在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n ,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1,
设bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$,b1=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1,
∴数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+(n-1)×1=n,
∴an=n•2n-1.
(2)解:∵${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$,
∴Sn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1,①
2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,②
①-②,得:-Sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=$\frac{1×(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n
=2n-1-n•2n,
∴Sn=(n-1)•2n+1.
∵a1=1,an+1=$\frac{1}{2}$Sn(n=1,2,3,…),
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}$=$\frac{1}{2}(n-2)•{2}^{n-1}+\frac{1}{2}$,n≥2.
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{1,n=1}\\{\frac{1}{2}(n-2)•{2}^{n-1}+\frac{1}{2},n≥2}\end{array}\right.$.
点评 本题考查等差数列的证明,考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法和错位相减法的合理运用.
A. | y=x-2-2 | B. | y=x-2+2 | C. | y=(x-2)-2 | D. | y=(x+2)-2 |
A. | 不超过19的非负实数 | |
B. | 方程x2-64=0在实数范围内的解 | |
C. | $\sqrt{5}$的近似值的全体 | |
D. | 某育才中学2017级身高超过175cm的同学 |