Question

6．若函数$f（x）={x^3}-b{x^2}+\frac{1}{2}$有且仅有两个不同零点，则b的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\root{3}{2}}{2}$
• D． 不确定

Answer 1

分析 题意可得，x=0为函数$f（x）={x^3}-b{x^2}+\frac{1}{2}$的一个极值点，进而可得答案．

解答 解：∵函数$f（x）={x^3}-b{x^2}+\frac{1}{2}$有且仅有两个不同零点，
故x=0为函数$f（x）={x^3}-b{x^2}+\frac{1}{2}$的一个极值点．
令f′（x）=3x²-2bx=0，可得 x=0，或 x=$\frac{2b}{3}$．
故当 x=0，或 x=$\frac{2b}{3}$时，函数f（x）取得极值．
而f（0）=$\frac{1}{2}$≠0，
∴f（$\frac{2b}{3}$）=$\frac{8}{27}$b³-$\frac{4}{9}$b³$+\frac{1}{2}$=$\frac{-4}{27}$b³$+\frac{1}{2}$=0，
解得 b=$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．