Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2log₂a_n+1-1，
    ①若数列{

1

bn2bn+12

}的前n项和为Tn，证明Tn＜

1

8

；
    ②求数列{a_nb_n}的前n项和为M_n．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得数列{a_n}为等比数列，且其首项a₁=1，公比为2，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1，将其代入b_n=2log₂a_n+1-1中，再用裂项法求和，即可得出结论；
（3）先求出数列{a_nb_n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．

解答：（1）解：∵a_n+1=S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=S_n-S_n-1，
∴a_n+1-a_n=a_n，
∴a_n+1=2a_n，
∵a₁=1，
∴数列{a_n}为等比数列，且其首项a₁=1，公比为2，则a_n=2^n-1；
（2）①证明：由（1）可得：a_n=2^n-1，则b_n=2log₂a_n+1-1=2log₂2ⁿ-1=2n-1，即b_n=2n-1．
∴

n

bn2bn+12

=

n

(2n-1)2(2n+1)2

=

1

8

[

1

(2n-1)2

-

1

(2n+1)2

]，
∴T_n=

1

8

[

1

12

-

1

32

+…+

1

(2n-1)2

-

1

(2n+1)2

]=

1

8

[1-

1

(2n+1)2

]＜

1

8

；
②a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴M_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2M_n=1×2+3×2²+5×2³…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减得-M_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+2•2ⁿ-4-（2n-1）•2ⁿ，
∴M_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．