Question

（2013•昌平区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

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AD，E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC；
（Ⅲ） 在线段AB上是否存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

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？说明理由．

Answer 1

分析：（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．
（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

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，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．

解答：证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，
ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．
∴在△CPA中，EF∥PA…（2分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD∴EF∥平面PAD…（4分）
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD
ABCD为正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD
所以CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA…（6分）
又PA=PD=

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AD，所以△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°　　即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．…..（9分）
（Ⅲ） 如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，
面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

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AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．
以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1）．
若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为

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，
连结PG，DG
设G（1，a，0）（0≤a≤2）．
由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为

PA

=（1，0，-1）．
设平面PGD的法向量为

n

=（x，y，z）．
∵

DP

=（1，0，1），

GD

=（-2，-a，0），
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

GD

=0可得

x+z=0 -2x-ay=0

，令x=1，则y=-

2

a

，z=-1，
故

n

=（1，-

2

a

，-1），
∴cos＜

n

，

PA

＞=

2

2 × 2+ 4 a2

=

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，
解得，a=

1

2

．
所以，在线段AB上存在点G（1，

1

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，0），使得二面角C-PD-G的余弦值为

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．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．