Question

函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m²－m－2)<3.

Answer 1

(1)略　(2){m|－1<m<}

解析　(1)证明：设x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，

则x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)>1.

f(x₂)－f(x₁)＝f[(x₂－x₁)＋x₁]－f(x₁)

＝f(x₂－x₁)＋f(x₁)－1－f(x₁)＝f(x₂－x₁)－1>0.

∴f(x₂)>f(x₁)．

即f(x)是R上的增函数．

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

∴原不等式可化为f(3m²－m－2)<f(2)．

∵f(x)是R上的增函数，

∴3m²－m－2<2，解得－1<m<.

故m的解集为{m|－1<m<}．