Question

已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1.

(1)若x∈N^*,试求f(x)的表达式；

(2)若x∈N^*，且x≥2时，不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解析:(1)令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1.

∴f(x+1)-f(x)=2x+4.

∴当x∈N^*时，有

f(2)-f(2)=2×1+4，

f(3)-f(2)=2×2+4,

f(4)-f(3)=2×3+4,

……

f(x)-f(x-1)=2(x-1)+4

将上面各式相加得f(x)=x²+3x-3(x∈N^*).

(2)∵当x∈N^*且x≥2时，f(x)=x²+3x-3,

∴不等式f(x)≥(a+7)x-（a+10）恒成立，

即为当x∈N^*，且x≥2时不等式x²+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立，即x²-4x+7≥a(x-1)恒成立.

∵x≥2,

∴≥a恒成立.

又=(x-1)+-2≥2(当且仅当x-1=即x=3时取“=”)，

∴的最小值是2，故a≤2.