题目内容
【题目】设是各项均为正数的等差数列,
,
是
和
的等比中项,
的前
项和为
,
.
(1)求和
的通项公式;
(2)设数列的通项公式
.
(i)求数列的前
项和
;
(ii)求.
【答案】(1),
;(2)(i)
;(ii)
【解析】
(1)因为,
是
和
的等比中项,根据等比中项可求得
,再根据等差数列的通项公式求出
,利用
与
的关系,证出
是以2为首项,2为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出
的通项公式;
(2)根据(1)中
和
的通项公式,列出数列
的通项公式,利用分组求和法,分成奇数组和偶数组,即可求出数列
的前
项和
;
将
分为奇数和偶数两种情况,当
为奇数时,设
,运用裂项相消法化简求出结果;当
为偶数时,设
,运用错位相减法求出结果;分别求解出后,相加求得
的值即可.
(1)解:设等差数列的公差为
,
因为,
是
和
的等比中项,
所以,即
,
解得,因为
是各项均为正数的等差数列,
所以,
故,
因为,所以
,
两式相减得:,
当时,
,
,
是以2为首项,2为公比的等比数列,
.
(2)(i)解:,
所以
.
(ii)解:当为奇数时,
设
,
当为偶数时,
设,
,
所以,
故,
所以.
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