Question

已知：函数f（x）=x²+4x+3 （x∈R），g（x）与f（x）图象关于直线x=1对称．
（1）求g（x）；
（2）如果关于x的不等式 g（x）≥g（a）-4的解集为全体实数，求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y）为y=g（x）上任一点，由已知中g（x）与f（x）图象关于直线x=1对称，可得P（x，y）关于x=1的对称点P′（2-x，y）在y=f（x）的图象上，满足y=f（x）的解析式，代入整理即可得到函数g（x）的解析式
（2）解法一：由（1）中结论，我们g（x）的最小值为-1，故可由g（x）≥g（a）-4的解集为全体实数，构造出一个关于a的不等式g（a）-4≤-1，解不等式即可得到答案；
解法二：由关于x的不等式 g（x）≥g（a）-4的解集为全体实数，根据二次不等式恒成立的充要条件，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得a的最大值．
解答：解：（1）设P（x，y）为y=g（x）上任一点，（1分）
∵y=g（x）与y=f（x）关于x=1对称，
∴P（x，y）关于x=1的对称点P′（2-x，y）在y=f（x）的图象上，（3分）
∵f（x）=x²+4x+3
∴y=（2-x）²+（2-x）+3=x²-8x+15
即g（x）=x²-8x+15（2分）
（2）解法一：由关于x的不等式 g（x）≥g（a）-4的解集为全体实数，
又因为g（x）的最小值为-1（2分）
即：g（a）-4≤-1（3分）
a²-8a+15-4≤-1
a²-8a+12≤0
2≤a≤6（2分）
a的最大值6（1分）
解法二：由g（x）≥g（a）-4
得：x²-8x+15≥a²-8a+15-4（1分）
x²-8x-（a²-8a-4）≥0（1分）
因为不等式的解集为全体实数
即：△=64-4（a²-8a-4）≤0（3分）
a²-8a+12≤0（1分）
2≤a≤6（1分）
a的最大值6（1分）
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，函数恒成立问题，其中（1）中坐标法，求曲线的轨迹方程时，最常用的方法，一定要熟练掌握．