题目内容
设f(x)=λ1(a |
3 |
b-1 |
2 |
(1)当λ1=1,λ2=0时,设x1,x2是f(x)的两个极值点,
①如果x1<1<x2<2,求证:f'(-1)>3;
②如果a≥2,且x2-x1=2且x∈(x1,x2)时,函数g(x)=f'(x)+2(x-x2)的最小值为h(a),求h(a)的最大值.
(2)当λ1=0,λ2=1时,
①求函数y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值.
②对于任意的实数a,b,c,当a+b+c=3时,求证3aa+3bb+3cc≥9.
分析:(1)①当λ1=1,λ2=0时,由x1,x2是方程f'(x)=0的两个根,且x1<1<x2<2且a>0得
.由f′(-1)=a-b+2结合a,b范围得证.②由①设f'(x)=a(x-x1)(x-x2),得g(x)=a(x-x2)(x-x1+
)=-a(x2-x)(x-x1+
),
用基本不等式得g(x)≥-a•(
)2=-(a+
+2)求得最值.
(2)①由λ1=0,λ2=1,f(x)=3xx,可得y=3xx-3(ln3+1)x.y'=3x(ln3)•x+3x-3(ln3+1),易知y'是单调增函数,
且x=1是它的一个零点,当x=1时,求得最小值.②由①知3xx≥3(ln3+1)x-3ln3,当x分别取a、b、c时有:得到三个不等式,再由不等式的基本性质得证.
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2 |
a |
2 |
a |
用基本不等式得g(x)≥-a•(
(x2-x)+(x-x1+
| ||
2 |
1 |
a |
(2)①由λ1=0,λ2=1,f(x)=3xx,可得y=3xx-3(ln3+1)x.y'=3x(ln3)•x+3x-3(ln3+1),易知y'是单调增函数,
且x=1是它的一个零点,当x=1时,求得最小值.②由①知3xx≥3(ln3+1)x-3ln3,当x分别取a、b、c时有:得到三个不等式,再由不等式的基本性质得证.
解答:解:(Ⅰ)①证明:当λ1=1,λ2=0时,f'(x)=ax2+(b-1)x+1,x1,x2是方程f'(x)=0的两个根,
由x1<1<x2<2且a>0得
,
即
.
所以f′(-1)=a-b+2=-3(a+b)+(4a+2b-1)+3>3.(3分)
②设f'(x)=a(x-x1)(x-x2),
所以g(x)=a(x-x2)(x-x1+
)=-a(x2-x)(x-x1+
),
易知x2-x>0,x-x1+
>0,
所以g(x)≥-a•(
)2=-(a+
+2)
当且仅当x1-x=x-x1+
时,
即x=
-
=x1+1-
时取等号
所以h(a)=-(a+
+2)(a≥2).
易知当a=2时,h(a)有最大值,
即h(a)max=h(2)=-
.(5分)
(Ⅱ)①当λ1=0,λ2=1时,f(x)=3xx,
所以y=3xx-3(ln3+1)x.y'=3x(ln3)•x+3x-3(ln3+1),容易知道y'是单调增函数,
且x=1是它的一个零点,即也是唯一的零点.
当x>1时,y'>0;当x<1时,y'<0,
故当x=1时,
函数y=f(x)-3(ln3+1)x有最小值为-3ln3.(4分)
②由①知3xx≥3(ln3+1)x-3ln3,
当x分别取a、b、c时有:3aa≥3(ln3+1)a-3ln3;3bb≥3(ln3+1)b-3ln3;3cc≥3(ln3+1)c-3ln3
三式相加即得.(3分)
由x1<1<x2<2且a>0得
|
即
|
所以f′(-1)=a-b+2=-3(a+b)+(4a+2b-1)+3>3.(3分)
②设f'(x)=a(x-x1)(x-x2),
所以g(x)=a(x-x2)(x-x1+
2 |
a |
2 |
a |
易知x2-x>0,x-x1+
2 |
a |
所以g(x)≥-a•(
(x2-x)+(x-x1+
| ||
2 |
1 |
a |
当且仅当x1-x=x-x1+
2 |
a |
即x=
x1+x2 |
2 |
1 |
a |
1 |
a |
所以h(a)=-(a+
1 |
a |
易知当a=2时,h(a)有最大值,
即h(a)max=h(2)=-
9 |
2 |
(Ⅱ)①当λ1=0,λ2=1时,f(x)=3xx,
所以y=3xx-3(ln3+1)x.y'=3x(ln3)•x+3x-3(ln3+1),容易知道y'是单调增函数,
且x=1是它的一个零点,即也是唯一的零点.
当x>1时,y'>0;当x<1时,y'<0,
故当x=1时,
函数y=f(x)-3(ln3+1)x有最小值为-3ln3.(4分)
②由①知3xx≥3(ln3+1)x-3ln3,
当x分别取a、b、c时有:3aa≥3(ln3+1)a-3ln3;3bb≥3(ln3+1)b-3ln3;3cc≥3(ln3+1)c-3ln3
三式相加即得.(3分)
点评:本题主要考查函数与不等式转化与构造以及导数求函数最值问题.
练习册系列答案
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设f(x)=
,则
(a≠b)的值为( )
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(a+b)-(a-b)•f(a-b) |
2 |
A、a | B、b |
C、b中较小的数 | D、a、b中较大的数 |