Question

有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，已知a=

3

，B=

π

4

，

b=

6

（或 c=

3 2+ 6

2

）

，求角A．”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=

π

6

．试在横线上将条件补充完整．

Answer 1

分析：要把横线处补全，就要把A的度数作为已知条件求b和c的值，由a，A和B的度数，根据正弦定理求出b的长，再由三角形的内角和定理求出C的度数，由a，b及cosC，利用余弦定理即可求出c的长．

解答：解：由题意可得横线上将条件为b的值，或为c的值．
①当横线上将条件为b的值时，由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=sinB

a

sinA

=

2

2

×

3

3 2

=

2

．
②当横线上将条件为c的值时，根据正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，又a=

3

，sinB=

2

2

，sinA=

3

2

，
所以，b=

3 × 2 2

3 2

=

2

，又C=180°-45°-60°=75°，
所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=

6 - 2

4

，
所以c²=a²+b²-2abcosC=3+2-2

6

×

6 - 2

4

=

8+4 3

4

=(

6 + 2

2

)2，
则c=

6 + 2

2

．
故答案为：b=

2

，或 c=

6 + 2

2

．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道中档题．把A的度数看做已知条件求b或c的长度是解本题的基本思路．