题目内容

（1）已知
a
=（2x-y+1，x+y-2），
b
=（2，-2），①当x、y为何值时，
a
与
b
共线？②是否存在实数x、y，使得
a
⊥
b
，且|
a
|=|
b
|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
（2）设
i
和
j
是两个单位向量，其夹角是90°，
a
=
i
+2
j
，
b
=-3
i
+
j
，若(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)，求实数k的值．
分析：（1）①由
a
与
b
共线，可得存在非零实数λ使得
a
=λ
b
，从而可得结论；
②由
a
⊥
b
得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0，由|
a
|=|
b
|得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8，从而可得结论；
（2）利用向量的数量积公式，即可求实数k的值．
解答：解：（1）①∵
a
与
b
共线，
∴存在非零实数λ使得
a
=λ
b
，
∴
2x-y+1=2λ
x+y-2=-2λ

∴x=
1
3
，y∈R；
②由
a
⊥
b
得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0
所以x-2y+3=0．（i）
由|
a
|=|
b
|得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8．（ii）
解（i）（ii）得
x=-1
y=1
或
x=
5
3
y=
7
3
；
（2）由题意，|
a
|=
a
2
=
(
i
+2
j
)2
=
5
，①|
b
|=
b
2
=
(-3
i
+
j
)2
=
10
，②
a
•
b
=(
i
+2
j
)(-3
i
+
j
)=-1③…（10分）
∵(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)，
∴(k
a
-
b
)•(
a
+k
b
)=0，得，k|
a
|2-k|
b
|2+(k2-1)
a
•
b
=0
将①②③代入得：k2+5k-1=0，…（12分）
解得k=
-5±
29
2
…（14分）
点评：本题考查向量共线、垂直的条件的运用，考查数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时等号成立；
（2）求函数f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值时x的值．
选做题 
（1）已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
（2）已知直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-
π
4
）．
（Ⅰ）求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
（1）已知
a
=（2x-y+1，x+y-2），
b
=（2，-2），
①当x、y为何值时，a与b共线？
②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|
a
|=|
b
|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
（2）设
n
和
m
是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量
a
=2
m
+
n
和b=-3
m
+2
n
的夹角．
（1）已知
a
=（2x-y+1，x+y-2），
b
=（2，-2），①当x、y为何值时，
a
与
b
共线？②是否存在实数x、y，使得
a
⊥
b
，且|
a
|=|
b
|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
（2）设
i
和
j
是两个单位向量，其夹角是90°，
a
=
i
+2
j
，
b
=-3
i
+
j
，若(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)，求实数k的值．

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