题目内容
（1）已知
=（2x-y+1，x+y-2），
=（2，-2），
①当x、y为何值时，a与b共线？
②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|
|=|
|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
（2）设
和
是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量
=2
+
和b=-3
+2
的夹角．
| a |
| b |
①当x、y为何值时，a与b共线？
②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|
| a |
| b |
（2）设
| n |
| m |
| a |
| m |
| n |
| m |
| n |
分析：（1）①根据向量平行的坐标表示式，由
∥与
可得-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得到实数x=
，得到使
、
共线的x、y的值．
②
与
垂直，且|
|=|
|，可得
=（-2，-2）或
=（2，2），由此建立关于x、y的方程组，解出x、y的值，从而得到存在实数x、y，使得
⊥
且|
|=|
|，此时xy=-1或xy=3．
（2）根据向量数量积公式算出
•
=
，再由向量数量运算性质算出|
|=|
|=
和
•
=-
．最后利用向量的夹角公式，可得
与
的夹角为120°．
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
②
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）根据向量数量积公式算出
| m |
| n |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| 7 |
| a |
| b |
| 7 |
| 2 |
| a |
| b |
解答：解：（1）①∵
=（2x-y+1，x+y-2），
=（2，-2），
∴若
与
共线，则-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得x=
因此，当x=
、y为任意实数时，
与
共线；
②若
与
垂直，且|
|=|
|，则
∵
=（2，-2），
∴
=（2x-y+1，x+y-2）=（-2，-2）或
=（2x-y+1，x+y-2）=（2，2）
即
或
，解之得
或
∴xy=-1或xy=3．
因此存在实数x、y，使得
⊥
且|
|=|
|，此时xy=-1或xy=3．
（2）∵
和
是两个单位向量，其夹角是60°，∴
•
=|
|•|
|cos60°=
，
∴|
|2=|2
+
|2=（2
+
）•（2
+
）=4
2+4
•
+
2=7，同理可得|
|2=|-3
+2
|2=7，
因此，|
|=|
|=
∵
•
=（2
+
）•（-3
+2
）=-
．
设
与
的夹角为θ，可得cosθ=
=-
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．
| a |
| b |
∴若
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
因此，当x=
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
②若
| a |
| b |
| a |
| b |
∵
| b |
∴
| a |
| a |
即
|
|
|
|
∴xy=-1或xy=3．
因此存在实数x、y，使得
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）∵
| n |
| m |
| m |
| n |
| m |
| n |
| 1 |
| 2 |
∴|
| a |
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| m |
| n |
| n |
| b |
| m |
| n |
因此，|
| a |
| b |
| 7 |
∵
| a |
| b |
| m |
| n |
| m |
| n |
| 7 |
| 2 |
设
| a |
| b |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．
点评：本题给出向量含有字母的坐标，探索两个向量能否共线或者平行，并且求向量的夹角．着重考查了平面向量的数量积计算公式和平行、垂直的条件等知识，属于中档题．
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