题目内容

已知椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，且点A（-
5
，0），B（
5
，0）在椭圆C上，又F1(-
5
，4)．
（1）求焦点F2的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围．
（1）|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|，
∴|AF2|-|BF2|=|BF1|-|AF1|=6-4=2，
故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，x＞0)，
∵2a=2，
∴a=1，b2=c2-a2=4．
故轨迹方程为x2-
y2
4
=1(x＞0)．…（6分）
（2）由
x2-
y2
4
=1(x＞0)
y=kx+b
，消去y整理，得
方程（4-k2）x2-2kbx-（b2+4）=0有两个正根x1，x2．
∴
△=4k2b2+4(4-k2)( b2+4)＞0
x1x2=
b2+4
k2-4
＞0
x1+x2=
-2kb
k2-4
＞0
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件知x1x2+y1y2=0．
而y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2+b2，
∴（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
即
(k2+1)(b2+4)
k2-4
-
2k2b2
k2-4
+b2=0，
整理得3b2=4（k2+1），即b2=
4
3
(k2+1)，
∴b2-k2+4＞0，
即
4
3
(k2+1)-k2+4＞0显然成立．
∴
k2＞4
kb＜0

而k＞0，∴b＜0．
∴b2=
4
3
(k2+1)＞
4
3
(4+1)=
20
3
．
∴b＜-
20
3
=-
2
15
3
．
故b的取值范围为（-∞，-
2
15
3
）．…（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的两个焦点为F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2=60°．
（1）当直线l过F1与椭圆C交于M、N两点，且△MF2N的周长为12时，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面积．
精英家教网给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点(
5
，0)，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线x+y=3
2
与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点Q（a，b）轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点，且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与y轴正半轴的交点时，求l1与l2的方程，并求线段|
MN
|的长度．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F2为焦点．直线l过点F2，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F1B⊥F2B，则|AF2|-|BF2|=
4
4
．
（2013•潮州二模）已知椭圆C的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），点A(1，
2
2
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求
PF
1•
PB
的取值范围．

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