Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．
（1）求异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求三棱锥C-ABC₁的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接A₁B，由三棱柱的性质得C₁B₁∥CB，从而得到∠A₁CB（或其补角）是异面直线A₁C与B₁C₁所成角．然后在△A₁CB中计算出各边的长，再根据余弦定理算出cos∠A₁CB=，即可得到异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小；
（2）由棱柱体积公式，算出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为2，而三棱锥C₁-ABC与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得到，由此不难得到三棱锥C-ABC₁的体积的值．
解答：解：（1）连接A₁B，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁B₁∥CB，
∴∠A₁CB（或其补角）是异面直线A₁C与B₁C₁所成角．
∵四边形AA₁C₁C与AA₁B₁B都是边长为2的正方形
∴，
△A₁CB中根据余弦定理，得cos∠A₁CB==
因此，∠A₁CB=，
即异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小为．
（2）由题意得
∵△ABC的面积S_△ABC=，高CC₁=2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V=S_△ABC×CC₁=2
而三棱锥C₁-ABC与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高
∴三棱锥C₁-ABC的体积为，
∵，
∴三棱锥C-ABC₁的体积为．
点评：本题给出所有棱长均相等的正三棱柱，求异面直线所成角并求三棱锥的体积，着重考查了异面直线所成角的求法和锥体、柱体体积公式等知识，属于中档题．