Question

14．在△ABC中，AC=3，AB=4，BC=5，P为角平分线AT上一点，且在△ABC内部，则P到三边距离倒数之和的最小值为$\frac{19+2\sqrt{70}}{12}$．

Answer 1

分析 先根据题意建立平面直角坐标系，求出BC所在直线的方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，和角A平分线AT的方程为y=x，求出交点的坐标，令P（m，m），依题知0＜m＜$\frac{12}{7}$，根据点到直线的距离，
表示出P到三边的距离的倒数和为，构造函数f（m）=$\frac{2}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$，0＜m＜$\frac{12}{7}$，利用导数求出函数的最小值．

解答 解：显然△ABC为Rt△
以A为原点，以直角边AC为x轴，直角边AB为y轴建立平面直角坐标系
易知B（0，4），C（3，0），角A平分线AT的方程为y=x
由截距式知BC所在直线的方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，即4x+3y-12=0
联立AT、BC方程易知交点坐标为（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）
 令P（m，m），依题知0＜m＜$\frac{12}{7}$
由点到直线的距离公式知P到BC的距离为$\frac{12-7m}{5}$，
则P到三边的距离的倒数和为$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$=$\frac{2}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$，
令f（m）=$\frac{2}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$，0＜m＜$\frac{12}{7}$
则f'（m）=-$\frac{2}{{m}^{2}}$+$\frac{35}{（12-7m）^{2}}$，
令f'（m）=0，即有m=$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$（该极值点在区间0＜m＜$\frac{12}{7}$上）
当0＜m＜$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$时，f'（m）＜0，则f（m）递减
当$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$＜m＜$\frac{12}{7}$时，f'（m）＞0，则f（m）递增
∴f（m）_min=f（$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$）=$\frac{19+2\sqrt{70}}{12}$，
故答案为：$\frac{19+2\sqrt{70}}{12}$．

点评 本题考查了点到直线的距离公式，导数和函数的最值的关系，培养的了学生的计算能力，转化能力，属于中档题．