题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,一动圆经过点
且与直线
相切,设该动圆圆心的轨迹方程为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设是曲线
上的动点,点
的横坐标为
,点
,
在
轴上,
的内切圆的方程为
,将
表示成
的函数,并求
面积的最小值.
【答案】(1)(2)
面积的最小值为8.
【解析】试题分析: (1)由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; (2)由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC表示成的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.
试题解析: 解:(Ⅰ)由题意可知圆心到的距离等于直线
的距离,由抛物线的定义可知,曲线
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
直线的方程为:
,
又圆心(1,0)到的距离为1,所以
.
整理得:,
同理可得:,
所以,
是方程
的两根,
所以,
,
依题意,即
,
则.
因为所以
.
所以.
当时上式取得等号,
所以面积的最小值为8.
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