题目内容

如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求λ及μ；
（2）用 $数学公式$ ， $数学公式$ 表示 $数学公式$ ；
（3）求△PAC的面积．

解：（1）由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ①， $\text{[math]}$ ②，
由①②得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ．
（3）设△ABC，△PAB，△PBC的高分别为h，h₁，h₂，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，S_△PAC=4．

分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ，用基底 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ ．再根据 $\text{[math]}$ ，
用基底 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ ．这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
（2）把 $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 来表示，把（1）中的结果代入可得用基底 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示的 $\text{[math]}$ ．
（3）根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB和△PBC 的面积，用△ABC的面积减去△PAB和△PBC 的面积
即得△PAC的面积．
点评：本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比，是解题的难点．