题目内容

已知函数f(x)的图象经过点(1,λ),且对任意x∈R,
都有f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足
(1)当x为正整数时,求f(n)的表达式;(2)设λ=3,求a1+a2+a3+…+a2n
(3)若对任意n∈N*,总有anan+1<an+1an+2,求实数λ的取值范围.

(1)22n+n﹣2.(2)λ的取值范围为(﹣2,+∞).

解析试题分析:解:
(1)记bn=f(n),由f(x+1)=f(x)+2有bn+1﹣bn=2对任意n∈N*都成立,
又b1=f(1)=λ,所以数列bn为首项为λ公差为2的等差数列,   2分
故bn=2n+λ﹣2,即f(n)=2n+λ﹣2.   4分
(2)由题设λ=3
若n为偶数,则an=2n﹣1;若n为奇数且n≥3,则an=f(an﹣1)=2an﹣1+λ﹣2=2•2n﹣2+λ﹣2=2n﹣1+λ﹣2=2n﹣1+1
又a1=λ﹣2=1,
- 6分
a1+a2+a3++a2n=(a1+a3++a2n1)+(a2+a4++a2n)=(20+22++22n2+n﹣1)+(21+23++22n1
=(1+21+22++22n1)+n﹣1=22n+n﹣2.  8分
(3)当n为奇数且n≥3时,an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=2n[2n+1+λ﹣2﹣(2n1+λ﹣2)]=3•22n1>0; 10分
当n为偶数时,an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=(2n+λ﹣2)(2n+1﹣2n1)]=3•2n1(2n+λ﹣2),因为anan+1<an+1an+2,所以2n+λ﹣2>0,
∵n为偶数,∴n≥2,
∵2n+λ﹣2单增∴4+λ﹣2>0,即λ>﹣2
故λ的取值范围为(﹣2,+∞).  12分
考点:数列的求和,以及数列单调性
点评:解决的关键是利用数列的通项公式以及数列的单调性来得到证明,属于中档题。

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