题目内容
已知双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别是F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|=4．（1）求动点P的轨迹E的过程．
（2）设过点F2且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点，试问在y轴上是否存在一点D使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D的活动范围：若不存在，试说明理由．
分析：（1）双曲线的方程可化为
-y2=1，则|FF2|=2
，|PF1|+|PF2|=4＞|FF2|，由此知点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆，并能求出其方程．
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x-
），代入椭圆方程得：（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0，再由韦达定理结合分类讨论思想能够推导出满足条件的点D存在，其活动范围是满足-
≤y≤
且y≠0的区域．
| x2 |
| 2 |
| 3 |
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x-
| 3 |
| 3 |
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
解答：解：（1）双曲线的方程可化为
-y2=1，则|FF2|=2
，|PF1|+|PF2|=4＞|FF2|，
所以点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为
+y2=1．（3分）
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x-
）（k≠0）
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2=
，y1+y2=k（x1+x2-2
）=
=（x1，y1-m），
=（x2，y2-m），
+
=（ x1+x2，y1+y2-2m），（6分）
又
=λ（1，k） （λ=x2-x1），
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴（
+
）⊥
∴（
+
）•
=0，即
+
-2mk=0，整理得：
-2mk=0，（8分）
∵k≠0，∴m=
=
若k＞0，则
≤
（当且仅当k=
时取等号），即m∈（0，
]（10分）
若k＜0，则
≥-
（当且仅当k=-
时取等号），即m∈[-
，0）（11分）
综上，满足条件的点D存在，其活动范围是满足-
≤y≤
且y≠0的区域．
| x2 |
| 2 |
| 3 |
所以点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为
| x2 |
| 4 |
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x-
| 3 |
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2-8
| 3 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2=
8
| ||
| 1+4k2 |
| 3 |
-2
| ||
| 1+4k2 |
| DA |
| DB |
| DA |
| DB |
又
| AB |
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴（
| DA |
| DB |
| AB |
∴（
| DA |
| DB |
| AB |
8
| ||
| 1+4k2 |
-2
| ||
| 1+4k2 |
6
| ||
| 1+4k2 |
∵k≠0，∴m=
3
| ||
| 1+4k2 |
3
| ||
|
若k＞0，则
3
| ||
|
3
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
若k＜0，则
3
| ||
|
3
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
综上，满足条件的点D存在，其活动范围是满足-
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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